એક રોલરને બે શંકુઓને તેમના શિરોબિંદુ $O$ પર જોડીને બનાવવામાં આવે છે. તેને બે પાટા $AB$ અને $CD$ પર રાખવામાં આવે છે,જે અસમપ્રમાણ રીતે ગોઠવાયેલા છે (આકૃતિ જુઓ),તેની ધરી $CD$ ને લંબ છે અને તેનું કેન્દ્ર $O$ એ $AB$ અને $CD$ ને જોડતી રેખાના મધ્યમાં છે (આકૃતિ જુઓ). તેને હળવો ધક્કો આપવામાં આવે છે જેથી તે તેના કેન્દ્ર $O$ સાથે દર્શાવેલ દિશામાં $CD$ ને સમાંતર ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. જેમ તે ગતિ કરે છે,તેમ રોલર કઈ તરફ વળશે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી એક પાતળી સમાન તકતી $A$ ની સપાટીને એક આડા ટેબલ પર ચોંટાડવામાં આવી છે. $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બીજી એક પાતળી સમાન તકતી $B$,આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $A$ ની પરિઘ પર સરક્યા વિના ગબડે છે. $B$ ની એક સપાટી પણ ટેબલના સમતલ પર રહેલી છે. $B$ ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની $A$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરીની આસપાસ કોણીય ઝડપ $\omega$ છે. $A$ ના કેન્દ્રની સાપેક્ષે $B$ નું કોણીય વેગમાન $n M \omega R^2$ છે. નીચેનામાંથી $n$ નું મૂલ્ય કયું છે?

આકૃતિમાં દર્શાવેલ લંબાઈના માપ ધરાવતું બેડમિન્ટન રેકેટ ધ્યાનમાં લો. જો બેડમિન્ટન રેકેટના રેખીય અને વર્તુળાકાર ભાગોનું દળ સમાન $(M)$ હોય અને દોરાનું દળ અવગણ્ય હોય,તો હેન્ડલના છેડા $A$ થી $\frac{r}{2}$ અંતરે રહેલી,હેન્ડલને લંબ અને રીંગના સમતલમાં રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને રેકેટની જડત્વની ચાકમાત્રા ....... $Mr^2$ થશે?

$m$ દળ ધરાવતા ત્રણ કણો એક સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે. તેઓ ત્રિકોણની મધ્યગાઓ પર સમાન ઝડપ $v$ થી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે અને તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ પર અથડાય છે. જો અથડામણ પછી,$A$ સ્થિર થઈ જાય અને $B$ એ તેના માર્ગ $GB$ પર પાછો ફરે,તો $C$

$10\, g$ દળની અને $500\, m/s$ ની ઝડપ ધરાવતી એક ગોળી દરવાજામાં મારવામાં આવે છે અને તે બરાબર દરવાજાના કેન્દ્રમાં ખૂંપી જાય છે. દરવાજો $1.0\, m$ પહોળો છે અને તેનું વજન $12\, kg$ છે. તે એક છેડે મિજાગરાથી જોડાયેલ છે અને ઘર્ષણરહિત શિરોલંબ ધરી પર ફરે છે. ગોળી ખૂંપ્યા પછી તરત જ દરવાજાની કોણીય ઝડપ કેટલી હશે?

આકૃતિ $1$ માં દર્શાવ્યા મુજબ એક વ્યક્તિ પોતાની આંગળીના ટેરવા પાસે $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યાની એક વર્તુળાકાર રીંગને ફેરવે છે. આ પ્રક્રિયામાં,આંગળી રીંગની અંદરની ધાર સાથેનો સંપર્ક ક્યારેય ગુમાવતી નથી. આંગળી શંકુની સપાટી બનાવે છે,જે તૂટક રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે. રીંગ અને આંગળી જ્યાં સંપર્કમાં છે તે બિંદુ દ્વારા રચાયેલા પથની ત્રિજ્યા $r$ છે. આંગળી $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ફરે છે. ફરતી રીંગ એ નાના વર્તુળની બહારની બાજુએ સરક્યા વિના ગબડે છે જે રીંગ અને આંગળીના સંપર્ક બિંદુ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે (આકૃતિ $2$). રીંગ અને આંગળી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $\mu$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.
$(1)$ રીંગની કુલ ગતિ ઊર્જા કેટલી છે?
$[A]$ $M \omega_0^2 R^2$ $[B]$ $\frac{1}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$ $[C]$ $M \omega_0^2(R-r)^2$ $[D]$ $\frac{3}{2} M \omega_0^2(R-r)^2$
$(2)$ $\omega_0$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય જેનાથી નીચે રીંગ નીચે પડી જશે તે છે:
$[A]$ $\sqrt{\frac{g}{\mu(R-r)}}$ $[B]$ $\sqrt{\frac{2 g}{\mu(R-r)}}$ $[C]$ $\sqrt{\frac{3 g}{2 \mu(R-r)}}$ $[D]$ $\sqrt{\frac{g}{2 \mu(R-r)}}$
પ્રશ્ન $(1)$ અને $(2)$ ના જવાબ આપો: